เรื่องของเลข 0

จะว่าไปแล้ว ในศาสตร์แขนงต่างๆ มักจะมีเรื่องของความลึกลับ พิสดาร แทรกอยู่เสมอๆ ในด้านของคณิตศาสตร์เองก็มีอยู่เหมือนกัน อย่างเรื่องของเลข “0” ก็ดูจะเป็นเรื่องหนึ่ง ความพิสดารของเลขศูนย์มีอยู่ในแง่ของชาติกำเนิดของมัน รวมทั้งการใช้งานของมันด้วย ลองนั่งนึกเล่นๆ ดูสิครับว่า จุดประสงค์จริงๆ ของเลขศูนย์คืออะไร? และใครเป็นผู้ให้กำเนิดเลขศูนย์? สองคำถามนี้มีความเชื่อมโยงกันอยู่ การจะตอบคำถามทั้ง 2 ข้อ ก็ต้องอธิบายไปพร้อมกันครับ

เลขศูนย์นั้น ลักษณะการใช้งานของมันมีอยู่ 2 แบบก็คือ แบบที่หนึ่ง ศูนย์ทำหน้าที่เป็นตัวระบุตำแหน่ง เช่น เลขจำนวน 2 กับ 20 มีค่าต่างกันซึ่งเราทราบได้ก็ด้วยการที่มีเลขศูนย์มาต่อท้ายจำนวนยี่สิบ

การใช้งานเลขศูนย์ อีกแบบหนึ่ง ก็คือ ศูนย์ในฐานะที่เป็นจำนวนจริงๆ คือ แทนความไม่มี เช่น 20-20 = 0

เอาล่ะครับ เราจะไปดูความเป็นมาของเลขศูนย์ ทั้งในแง่ของการเป็นตัวระบุตำแหน่ง และในฐานะเป็นจำนวนด้วยกัน

0 ผู้เป็นเครื่องหมาย

ชาวตะวันตกรู้จักเลขศูนย์หลังจากที่เลขศูนย์ถือกำเนิดขึ้นบนโลกแล้วประมาณ 1,000 ปี นั่นคือรู้จักเลขศูนย์ในราวศตวรรษที่ 14 สาเหตุก็คงมีหลายอย่าง อย่าว่าแต่คนตะวันตกเลยครับ ประชาชนในแถบที่ให้กำเนิดเลขศูนย์เองก็คงจะคิดถึงเลขนี้ได้ลำบาก

เมื่อ 10,000 ปีก่อนโน้น ชีวิตของคนทั่วไปไม่จำเป็นต้องรู้จักกับเลขศูนย์เลย เขาอาจจะนับว่า ฉันขายวัวไป 2 ตัว ได้เหรียญทองมา 1 เหรียญ แต่มันคงหาความหมายไม่ได้เลยกับ ฉันไปซื้อปลามา 0 ตัว ใครจะไปซื้อปลาที่ไม่มีปลากลับมา บรรดาพ่อค้าทั้งหลายต้องการเพียงแค่เครื่องหมายแทนจำนวนสิ่งของตามที่มันมี ดังนั้น วัว 1 ตัว กับของ 1 สิ่ง และเลข 1 จึงเข้ามาในชีวิตประจำวัน และเกิดความเข้าใจกันได้โดยง่าย

ทีนี้พอสังคม หรือชุมชนมีขนาดใหญ่ขึ้น มีความซับซ้อนมากขึ้น จำนวนของที่ต้องนับก็ชักจะยุ่งยากเข้าไปทุกที ระบบจำนวนเบื้องต้นจึงเกิดขึ้นมาซึ่งก็มีหลักฐานของเรื่องเหล่านี้ย้อนไปได้ถึง 3,500 ปีก่อนคริสตกาลเสียอีก และที่สำคัญก็คือ แต่ละชุมชนต่างก็พัฒนาระบบนับของตัวเองขึ้นมา

สำหรับระบบปัจจุบันที่เราและคนทั่วโลกใช้กันเป็นหลักตอนนี้ก็คือ ระบบเลขฐาน 10 ซึ่งมีตัวเลข 10 ตัว แต่ในตอนนั้นก็มีระบบอื่นที่ใช้กัน อย่างชาวบาบิโลนซึ่งเป็นผู้ให้กำเนิดวงกลม 360 องศา และ 1 ชั่วโมงมี 60 นาที เขาก็ใช้เลขฐาน 60 นับสิ่งต่างๆ กัน

ทางแถบอเมริกาตอนกลางก็มีชนเผ่ามายาซึ่งใช้ระบบเลขฐาน 20 ชาวกรีกบางส่วนดูเหมือนจะชอบระบบฐาน 5 ก่อนที่จะมีการคิดระบบฐาน 10 ขึ้นมาใช้ ส่วนทางบราซิลเขานับจำนวนแบบนี้ครับ หนึ่ง, สอง, สองและหนึ่ง, สองและสอง, สองและสองและหนึ่ง ฟังดูคุ้นๆ ไหมครับ ใช่แล้วครับ พวกเขาใช้ระบบฐาน 2

เอาเถอะครับ ไม่ว่าจะใช้ระบบใดก็ตาม ผลลัพธ์สุดท้ายย่อมเท่ากันแน่นอน เว้นไว้แต่ว่า เราจะบวกผิด แต่สิ่งที่สำคัญจริงๆ (ในเชิงของการคิดคำนวณ) นั้นคือ เราจะแสดงผลมันอย่างไรให้ถูกต้อง

นี่เองที่บทบาทของตัวระบุตำแหน่งเกิดขึ้น แต่เชื่อเถอะครับ ตัวระบุตำแหน่งในรุ่นแรก ไม่ใช่เลข 0 อย่างที่เรารู้จักแน่นอน

ถามนิดหนึ่งว่า ตัวระบุตำแหน่งคืออะไร? เอาเป็นว่า ตัวระบุตำแหน่งก็เป็นคำเรียกสิ่งที่จะทำให้คุณสามารถนำเลขตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไปมาวางเรียงให้อยู่ในแนวดิ่งได้ตรงกันเพื่อจะได้ทำการบวก (หรือลบ)แบบดั้งเดิมตามที่เราเรียนในสมัยเด็กๆ ได้นั่นล่ะครับ(โห! ให้ความหมายยาวไปไหมเนี่ย)

ชุมชนแต่โบราณบางชุมชนจะมีสัญลักษณ์ในการแทนจำนวนอยู่บ้าง อย่างชาวกรีกจะใช้ตัวอักษรแทนตัวเลข เช่น อัลฟ่า แทน 1, เบต้า แทน 2, แคปปา แทน 20, ซิกมา แทน 200 แต่ในระบบทั้งหลายก็ยังคงมีช่องโหว่อยู่ นั่นคือสัญลักษณ์ที่มีจำกัดทำให้มีการใช้สัญลักษณ์แบบเดียวกันแทนจำนวนที่แตกต่างกัน ส่วนจะเป็นเลขจำนวนใดก็จะดูเอาจากบริบทรอบข้าง ซึ่งบางครั้งก็เกิดความสับสนได้

ต่อมาชาวบาบิโลนก็สามารถแก้ปัญหานี้ได้เมื่อ 300 ปีก่อนคริสตกาล นั่นคือพวกเขาสร้างวิธีการเพื่อช่วยระบุตำแหน่งขึ้น นับเป็นโชคดีอยู่บ้างที่ระบบของชาวบาบิโลนเองเป็นระบบที่ตำแหน่งของตัวเลขมีความสำคัญกับจำนวนอยู่แล้ว (ที่อยู่ของเลขแต่ละตัวเป็นตัวกำหนดว่าสัญลักษณ์แทนเลขตัวนั้นจะมีค่าเป็นเท่าไร) วิธีการที่ชาวบาบิโลนคิดค้นขึ้นจึงทำหน้าที่บอกผู้อ่านเลขจำนวนนั้นให้รู้ว่า เลขตัวนั้นอยู่ในตำแหน่งใด

วิธีการของชาวบาบิโลนในตอนนี้ยังไม่ใช่เลข 0 ที่เรารู้จัก แต่เป็นการเว้นช่องว่างของจำนวน ลักษณะจะคล้ายกับแถวว่างในลูกคิด ซึ่งในยุคนั้นเองก็มีเครื่องช่วยคำนวณที่เรียกว่า กระดานนับ(อันนี้ผมเรียกตรงตัวจากคำว่า counting board ซึ่งถ้าเรียกกระดานคำนวณจะไพเราะกว่าแน่) การใช้ก็ง่ายๆ ครับ ขีดเส้นแนวดิ่งสัก 4-5 เส้นลงบนพื้น(นี่แบบลูกทุ่งครับ) เส้นขวาสุดก็แทนหลักหน่วย เส้นถัดมาทางซ้ายก็เป็นหลักสิบ หลักร้อย ไปเรื่อยๆ เหมือนกับระบบที่เราใช้ในปัจจุบัน ทีนี้การจะระบุความแตกต่างระหว่าง 23 กับ 203 ก็ทำได้โดย วางก้อนหิน 3 ก้อนไว้ขวาสุด แล้ววางก้อนหิน 2 ก้อนให้ตรงตำแหน่ง ถ้าวางบนเส้นที่ 2 เราก็จะรู้ทันทีว่าจำนวนนั้นคือ 23 ไม่ใช่ 203 กระดานนับนี้อาจจะทำไว้บนโต๊ะ หรือทำเป็นแผ่นกระดานพกพาก็ได้ และกระดานนับนี้ก็ได้รับความนิยมอย่างสูงทีเดียว

แต่ปัญหาก็ยังไม่หมดครับ การที่เว้นช่องว่างไว้ก็ยังทำให้สับสนได้ ตัวเลข 400 ทำให้เกิดช่องว่างข้างขวา 2 ช่อง หรือบางครั้งก็มีการหลงลืมการเว้นว่างนี้ด้วย ซึ่งถ้าเป็นการเขียนลงบนกระดาษ หรือแผ่นดินเหนียวก็จะไม่แน่ใจว่าเว้นไว้กี่ช่องกันแน่ ดังนั้น นักคณิตศาสตร์ของบาบิโลนจึงได้คิดสัญลักษณ์ขึ้นมาจริงๆ สัญลักษณ์ที่ไม่ใช่ช่องว่างอีกต่อไปคือมีรูปร่างเป็น " ตัวศูนย์หรือสัญลักษณ์ของบาบิโลนตัวนี้ทำหน้าที่ระบุตำแหน่งได้ดีกว่า โดยพบว่าตัวระบุตำแหน่งจะปรากฏเฉพาะตอนกลางของจำนวนเท่านั้น ไม่พบว่ามีที่ด้านหน้าหรือด้านหลัง(ทำให้ผมสงสัยเหมือนกันว่า เลขประเภท 250 จะยังเหลือความสับสนอยู่แค่ไหน) เลขศูนย์ในแบบของบาลิโลนนี้ถ่ายทอดไปยังชาวกรีกที่ต้องทำงานเกี่ยวกับดาราศาสตร์ ในทางดาราศาสตร์จะพบตัวระบุตำแหน่งนี้ทั้งข้างหน้า ตรงกลาง และข้างหลังของจำนวนนั้น

เลขศูนย์ของบาบิโลนนี้ยังคงแตกต่างจากเลขศูนย์ของเรา นั่นคือ เป็นเพียงสัญลักษณ์ แต่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของระบบตัวเลข ไม่เกี่ยวข้องกับการคำนวณแต่อย่างใด

โลกต้องรออีก 1,000 ปีก่อนที่ชาวมายาจะคิดเลขศูนย์ขึ้น ที่แตกต่างจากชาวบาบิโลนก็คือ เลขศูนย์ของมายามีอยู่จริง ไม่ใช่เป็นเพียงสัญลักษณ์ เราจะเห็นได้จากหลักฐานที่ว่า ชาวมายาเรียกวันแรกของเดือนว่า วันที่ 0 วันสุดท้ายของเดือน (ซึ่งมี 20 วัน) ว่า วันที่ 19 น่าเสียดายที่มายาอยู่ไกลจากยุโรปมาก กว่ายุโรปจะรู้จักกับชาวมายาก็ต้องรอถึงศตวรรษที่ 16นั่นเป็นช่องว่างที่ทำให้อินเดียแทรกเข้ามา และการคิดค้นเลขศูนย์โดยชาวอินเดียนี่เองที่ทำให้โลกรู้จักกับเลขศูนย์ในอีกบทบาทหนึ่ง

0 ในฐานะของศูนย์

เราถือว่าอินเดียเป็นต้นกำเนิดของระบบจำนวนอันซับซ้อนที่เราใช้กันอยู่ทุกวันนี้ แต่อินเดียเองก็ได้รับความรู้และอิทธิพลมาจากอารยธรรมรุ่นก่อนด้วย ในกรณีของเลข 0 นั้น ชาวอินเดียรู้จักกับมันในเชิงของปรัชญาและจิตวิญญาณมาตั้งแต่ 17,000 ปีก่อนแล้ว ปรัชญาของอินเดียพูดถึง ความว่างเปล่า มานาน คำว่าศูนย์เองก็คือ สูญ หรือ สุญตา และภาษาอังกฤษก็เรียก sunya(มาจากคำว่า sunyata) แทนคำว่าศูนย์เมื่อพูดถึงประวัติของเลขศูนย์

เข้าใจว่า ชาวอินเดียรู้จักกับเลข 0 ในฐานะของตัวระบุตำแหน่งผ่านทางนักดาราศาสตร์ของกรีก ซึ่งเข้ามายังอินเดียในยุคที่อเล็กซานเดอร์มหาราชขยายอาณาจักรลงมาถึง ในหนังสือโบราณของอินเดียจะมีสัญลักษณ์เป็นจุด หรือวงกลมแทนตำแหน่งว่างในจำนวน(จุดในคณิตศาสตร์โบราณของอินเดียยังแทนตัวไม่ทราบค่าเหมือนที่เราใช้ x แทนด้วย) และดูเหมือนว่า 0 ในฐานะของตัวเลขนั้น เกิดขึ้นในราว พ.ศ. 1193

ก่อนอื่นต้องเข้าใจกันก่อนว่า ตัวเลขสำหรับอารยธรรมดั้งเดิมนั้น เป็นคำแทนสิ่งของที่พวกเขามีอยู่จริง แนวคิดเกี่ยวกับจำนวนศูนย์ หรือจำนวนลบ เป็นเรื่องที่เข้าใจยาก โดยเฉพาะเมื่อต้องบวก หรือลบจำนวน จนกระทั่งความหมายของตัวเลขค่อยๆ ซับซ้อนขึ้น เป็นนามธรรมมากขึ้น จำนวนศูนย์ และจำนวนลบจึงปรากฏออกมา โดยนักคณิตศาสตร์อินเดียได้เริ่มให้นิยามเกี่ยวกับจำนวนศูนย์ไว้ นักคณิตศาสตร์เหล่านั้นคือ พราหมณ์คุปตะ, มหาวีระ และ ภัสการ

ลองดูคำนิยามที่พราหมณคุปต์ให้ไว้เกี่ยวกับเลข 0 ดังนี้ครับ

“ผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนลบ ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ และผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนบวก ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก โดยผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนศูนย์”

“จำนวนลบหักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก, จำนวนบวกหักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ, จำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนลบได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ, จำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนบวกได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก และจำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนศูนย์”

นี่เป็นความพยายามของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียเกี่ยวกับเลข 0 เมื่อราว 1,300 ปีก่อนนะครับ ทึ่งไหมครับ! แต่พราหมณ์คุปตะก็ยังมีปัญหาเกี่ยวกับการหาร เขาสามารถบอกได้ว่า 0 คูณกับจำนวน n ใดๆ จะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ แต่เมื่อเป็นการหาร ถ้า 0 เป็นตัวตั้งก็จะได้ผลลัพธ์เป็น เศษ 0/n หรือเท่ากับ 0 และเมื่อ 0 เป็นตัวหารก็จะได้ผลลัพธ์เป็น n/0 โดย 0 หารด้วย 0 มีค่าเท่ากับ 0

ถัดมา มหาวีระก็ได้ปรับปรุงข้อความของพราหมณ์คุปตะให้กระชับขึ้น เช่น “จำนวนใดๆ คูณกับ 0 ได้ผลลัพธ์เป็น 0 และจะมีค่าเท่าเดิมถ้าหักออกด้วย 0” แต่เขาก็ยังผิดพลาดเมื่อนิยามว่า “จำนวนใดๆ หารด้วย 0 จะมีค่าเท่าเดิม”

หลังจากนั้นอีก 500 ปี ภัสการได้พูดถึงการหารด้วย 0 ใหม่ไว้ยาวๆ ว่า “จำนวนที่หารด้วย 0 จะมีค่าเป็นสัดส่วนโดยตัวส่วนเป็น 0 เศษส่วนนี้เรียกว่าจำนวนอนันต์ ซึ่งเป็นปริมาณที่มีตัวส่วนเป็น 0 และไม่อาจเปลี่ยนแปลงได้ ไม่ว่าจะมีการบวกเพิ่มหรือหักออกมากเท่าใดก็ตาม เช่นเดียวกับจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นกับเทพเจ้าเมื่อโลกได้ถือกำเนิดหรือสลายไป หรือสรรพสิ่งที่ได้มอบให้(กับ)หรือออกมา(จากพระเจ้า)” เอาสิครับ ไปถึงขั้นเทพเจ้าเลยทีเดียว แต่ก็ยังไม่สมบูรณ์อยู่ดี ตามแนวคิดของภัสการ จำนวนต่างๆ ยังคงหารด้วย 0 ได้ เขายังไม่สามารถมองทะลุไปจนถึงความจริงที่ว่า จำนวนใดๆ ไม่สามารถหารด้วย 0 ได้

เอาเถอะครับ อย่างน้อยภัสการก็ถูกต้องกับความคิดที่ว่า 0 ยกกำลัง 2 = 0 และ รากที่ 2 ของ 0 มีค่าเท่ากับ 0

การที่ชาวอินเดียรู้จักกับเลข 0 ได้ลึกซึ้ง ส่วนหนึ่งก็มาจากความเชื่อทางศาสนา ไม่ว่าจะเป็น พราหมณ์ ฮินดู หรือพุทธ ต่างก็พูดถึงความว่างเปล่า นอกจากนี้ ชาวอินเดียยังเป็นอารยธรรมแรกๆ ที่มีการใช้จำนวนขนาดมโหฬารด้วย อย่างเช่น มีเทพเจ้า 330 ล้านองค์ หรือในหนังสือรามายณะ พูดถึงกองทหารจำนวน 1 ตามด้วย 0 ถึง 62 ตัว! หรือแม้แต่ความเชื่อเรื่องกลียุคที่กินเวลายาวนานถึง 432,000 ปี จำนวนเหล่านี้จะบันทึกไม่ได้เลยถ้าไม่มีเลข 0

เมื่อเลข 0 ปรากฏขึ้นในอินเดียแล้ว สิ่งที่เกิดขึ้นต่อมาก็คือ ชนเผ่าอาหรับได้เดินทางมาถึงที่นี่ อาหรับไปที่ไหนก็จะซึมซับความรู้ของท้องถิ่นนั้นติดตัวไปด้วย รวมทั้งเรื่องของระบบตัวเลขฐาน 10 ที่มีเลข 1-9 และเลข 0 ชาวอาหรับรับแนวคิดของตัวระบุตำแหน่ง และจำนวนศูนย์ กลับไปยังตะวันออกกลาง และเมื่อเลข 0 ไปถึงแบกแดด นักคณิตศาสตร์อาหรับที่ชื่อ อัล ควอร์อิซมี ก็สะดุดใจกับเรื่องนี้เข้าอย่างจัง (ชื่อของอัล ควอร์อิซมี ต่อมาได้นำไปใช้ในวงการคอมพิวเตอร์ในคำว่า อัลกอริทึม ส่วนหนังสือที่เขาเขียนก็ก่อให้เกิดคำว่า อัลจีบรา หรือวิชาพีชคณิต)

ในขณะเดียวกัน เลข 0 จากอินเดียก็ได้เดินทางไปทางฝั่งตะวันออกไปถึงประเทศจีนด้วย นักคณิตศาสตร์จีนได้รับเอาเลข 0 นี้ไปและพัฒนาความรู้ด้านคณิตศาสตร์ของตนเองขึ้นมา เรื่องหนึ่งที่ชาวจีนคิดขึ้นก็คือ จำนวนลบ

ทางด้านอัล ควอร์อิซมีได้ใช้ตัวเลขทั้ง 10 ตัวของอินเดียอย่างแพร่หลาย และกลายเป็นรู้จักกันทั่วไปในชื่อของ เลขอารบิก และเลขทั้ง 10 ตัว ก็ไปสู่ยุโรป เลข 0 ไปถึงยุโรปผ่านทางชาวอาหรับซึ่งรับต่อมาจากอินเดีย โดยมีพ่อค้าชาวอิตาลีที่ใช้เวลาว่างเป็นนักคณิตศาสตร์นามว่า ฟิโบแนคชี เป็นตัวกลาง แต่ฟิโบแนคชีก็ยังคงอ้างถึงเลข 0 ในลักษณะของเครื่องหมาย ในขณะที่เลขอีก 9 ตัว เขาอ้างถึงมันในฐานะของจำนวน ฟิโบแนคชีไม่ได้ขยายความคิดเรื่องของเลข 0 เหมือนอย่างนักคณิตศาสตร์อินเดียและอาหรับทำ(ที่มีการพูดถึงการบวก ลบ คูณ และหารด้วย 0)

แม้ว่าเลข 0 จะมาถึงยุโรปแล้ว แต่การยอมรับก็ยังเป็นไปอย่างยากลำบาก ลองคิดดูสิครับ 473-0 ได้ 473 พอจะเห็นอยู่ แต่ 473 x 0 ได้ 0 แล้ว 473 มันหายไปไหน? ยิ่งถ้าหารด้วย 0 ยิ่งยุ่งใหญ่เลย และในปี พ.ศ. 1842 ที่ฟลอเรนซ์มีการสั่งห้ามใช้ตัวเลขอารบิกกันเลยครับ เหตุผลที่เขาว่าไว้ก็คือ เลขอารบิกมันดัดแปลงแก้ไขง่าย เช่น แก้เลข 0 ให้เป็นเลข 6

แต่เลขอารบิกทั้ง 10 ตัวมีข้อเด่นกว่าเลขโรมันที่ใช้กันตอนนั้น แม้จะเป็นชาวยุโรปในยุคนั้นเองก็ตาม การบวกเลข CDXXXVII กับ LXIV โดยการตั้งเป็นแนวดิ่งทำได้ลำบากเมื่อลองเทียบ กับการบวก 103 กับ 21 ในแนวดิ่ง เลขอารบิกก็เลยได้รับความนิยมมากขึ้น(อันที่จริง ชาวยุโรปใช้กระดานนับในการคำนวณมากกว่าจะใช้เลขโรมัน) ในช่วงปี พ.ศ. 2043 มีการแข่งขันการบวกด้วยกระดานนับ กับการใช้เลขอารบิก ผลปรากฏว่า เลขอารบิกชนะตลอดเลยครับ ซึ่งก็ทำให้เลขโรมันค่อยๆ ตายไป และเหลือการใช้ก็ในบางโอกาส ส่วนเลข 0 ก็ปักหลักปักฐานขึ้นในโลกได้อย่างถาวร

ความว่างเปล่าในโลกที่ไม่ว่างเปล่า

มาถึงตรงนี้ เราลองมาทบทวนกันอีกทีว่า ถ้าไม่มีเลข 0 แล้วจะเป็นอย่างไร?

ประการแรกเลข 0 ประพฤติตัวเป็นตัวระบุตำแหน่ง เป็นตัวบอกว่า เลขต่างๆ ในจำนวนนั้น มีค่าอะไรกันแน่ เวลาที่เราเขียนเลขอะไรขึ้นมา อย่างเช่น 206 ที่จริงเราเขียนจำนวนนี้แบบย่อ รูปแบบสมบูรณ์ของจำนวนนี้คือ (2 x 100) + (0 x 10) + (6 x 1) ซึ่งถ้าเราไม่มีเลข 0 มาทำหน้าที่เป็นผู้กำกับตำแหน่งของตัวเลขแต่ละตัว เราก็จะแยกความแตกต่างไม่ออกระหว่าง 206, 26, 260, 2600 หรือ 26000 เลข 0 ในบทบาทนี้แสดงให้เห็นว่า ไม่มีอะไรตรงนั้น เลข 206 นั้น คือมี 100 อยู่ 2 ไม่มี 10 และมี 1 อยู่ 6 เราจึงต้องการสัญลักษณ์ตัวหนึ่งมาบอกเราว่า ไม่มีจำนวนที่หลักสิบ

การที่เรามีเลข 0 ทำให้การบันทึกค่า หรือการคำนวณที่ต้องเกี่ยวข้องกับเลขจำนวนมหาศาลทำได้โดยง่าย อย่างเช่น ตัวเลขทางดาราศาสตร์ซึ่งมีขนาดใหญ่ นักดาราศาสตร์ นักฟิสิกส์ นักเคมี และอื่นๆ ต่างได้ประโยชน์จากเลข 0 เมื่อเขาต้องพบกับจำนวนซึ่งมีค่าเป็นล้านล้าน ซึ่งพวกเขาจะไม่สามารถคิดสร้างแบบจำลองต่างๆ ขึ้นมาได้เลยถ้าไม่มีเลข 0 นี่ยังไม่ได้รวมถึงเลขจำพวก 0.01, 0.001, 0.0001 และบรรดาตัวเลขในธนาคาร ใน การค้า ที่อาจสร้างความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนไม่ตรงกันได้

และสำหรับบทบาทของการเป็นจำนวนที่ “มี” ค่าเท่ากับ “ไม่มี” ก็สำคัญมหาศาลในสาขาคณิตศาสตร์ เลข 0 เป็นเอกลักษณ์สำหรับการบวก หมายความว่า เมื่อเรานำเลข 0 ไปบวกกับเลขจำนวนใดๆ ก็ตาม จะได้ผลลัพธ์เท่ากับเลขจำนวนนั้นเช่นเดิม 5 + 0 = 5 เห็นกันอยู่ แต่ความสำคัญของเรื่องนี้ก็คือ ในตอนที่เรากำลังจัดการบางสิ่งบางอย่างกับจำนวนอยู่ แล้วเราต้องการเปลี่ยนรูปแบบของมันโดยที่ไม่ทำให้ค่าผิดเพี้ยนคลาดเคลื่อนไป เราก็อาศัยจำนวน 0 นี่แหละช่วย นั่นคือเราสามารถบวกอะไรบางอย่างที่มีค่าเท่ากับ 0 เข้าไป ดังเช่น เรามี x2 + y2 และอยากจะเล่นกับมัน ก็ลองบวกด้วย 0 เข้าไป โดยจำนวน 0 ที่บวกให้อยู่ในรูปของ 2xy - 2xy ก็จะได้

x2 + y2 = x2 + y2 + 2xy - 2xy

= x2 + 2xy + y2 - 2xy

= (x + y)2 - 2xy

มาถึงขั้นนี้ เราสามารถบอกได้เลยว่า (x + y)2 ต้องมีค่ามากกว่า 2xy เสมอ ทำไม ก็เพราะเราเริ่มต้นจากจำนวนบวก ผลสุดท้ายก็ต้องออกมาเป็นบวกซึ่งจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ (x + y)2 มีค่ามากกว่า 2xy นี่ล่ะครับ การเล่นกับระบบตัวเลขในวิชาคณิตศาสตร์ และบทบาทอันสำคัญของเลข 0

การที่โลกมีเลข 0 ทำให้เกิดจำนวนลบขึ้นมาอย่างเลี่ยงไม่ได้ คำถามที่ตามมาด้วยก็คือ เลข 0 เป็นจำนวนบวก หรือจำนวนลบ เลข 0 นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนเต็ม แต่ว่าเลข 0 ก็ไม่ใช่จำนวนลบ และไม่ใช่จำนวนบวก เลข 0 เป็นจำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนทั้งหมดที่ไม่ใช่จำนวนลบ ในตำราทางคณิตศาสตร์ เมื่อพูดถึงจำนวนเต็ม เลข 0 จัดอยู่ในกลุ่มของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ แต่ไม่อยู่ในกลุ่มของจำนวนเต็มบวก และเมื่อพูดถึงจำนวนจริงแล้ว เลข 0 เป็นสมาชิกของจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนจริงบวก และไม่ใช่จำนวนจริงลบ

วุ่นวายดีเหมือนกันนะครับ แต่ความวุ่นวายก็ยังไม่สิ้น คำถามที่มักจะถามกันอีกก็คือ เลข 0 เป็นจำนวนคี่ หรือจำนวนคู่? ก็มีคำตอบอยู่หลายอย่างครับ แล้วแต่ว่าจะเอาหลักการไหนมาจับ บางกรณีเรามองเลขคู่ และเลขคี่โดยพิจารณาเฉพาะจำนวนเต็ม เลข 0 ก็กลายเป็นจำนวนคู่ บางกรณีที่นิยามจำนวนคู่และคี่โดยอ้างอิงกับจำนวนธรรมชาติซึ่งมีเฉพาะจำนวนเต็มบวก เลข 0 ก็ไม่ใช่ทั้งเลขคู่และเลขคี่

และหากเราพิจารณาจากการแบ่งซึ่งจำนวนคู่สามารถแบ่งเป็นกลุ่มที่เท่ากัน 2 กลุ่มได้ เช่น 2 แบ่งเป็นกลุ่มของ 1 ได้ 2 กลุ่ม เลข 4 แบ่งเป็นกลุ่มของ 2 ได้ 2 กลุ่ม แต่เราจะแบ่งเลข 0 ได้อย่างไร นี่ล่ะครับที่ทำให้เกิดคำถามชวนหัวระเบิดอยู่มากมาย (อีกปัญหาที่มีถกเถียงกันอยู่เรื่อยก็คือ 0/0 ได้เท่าไร? ซึ่งไม่ว่าจะโต้กันอย่างไร สุดท้าย เราก็ต้องยึดหลักว่า เราไม่สามารถใช้ 0 เป็นตัวหารได้ ดังนั้นค่าของ 0/0 เป็นอย่างไรจึงไม่มีประโยชน์ที่จะคิด)

โลกอันวุ่นวายของเลข 0 ในท้องถนนยังมีอีกหลายอย่าง โดยเฉพาะผู้ที่ใช้ภาษาอังกฤษ พวกนี้แปลกที่ไม่ค่อยจะเรียกเลข 0 ว่า ซีโร(zero) แต่เรียก โอ มั่ง นอท มั่ง ถ้าเป็นกีฬาเทนนิส ก็เรียก 0 ว่า เลิฟ ซึ่งหมายถึงไข่ ไปโน่นเลย(เพราะรูปร่างของ 0 คล้ายกับไข่)

เหลือบมองแป้นโทรศัพท์ และคีย์บอร์ดคอมพิวเตอร์ก็เจอความสับสน กรณีแป้นคีย์บอร์ด จะมีแป้นตัวเลขอยู่ 2 ชุด ด้านบนจะเรียงเป็นแถวยาวจาก 1,2,3... ไปจบที่ 0 แต่ถ้าเป็นแป้นด้านขวาก็จะเรียง 0,1,2,... ไปจบที่ 9 แล้วตกลงเลข 0 เป็นจุดเริ่มต้น หรือจุดสิ้นสุด? แม้แต่ฟังก์ชันคีย์ที่เป็นแป้น F1-F12 ก็ไม่มีแป้น F0 ทำไม? คงเพราะว่าเลข 0 บอกให้รู้ว่า ไม่มีฟังก์ชันสำหรับคีย์นี้ ก็เลยไม่ต้องใส่แป้นนี้ล่ะมั้ง?

ในทางสถาปัตย์ก็มีครับ คือเรื่องเลขชั้นของอาคาร พวกฝรั่งเขาจะมีชั้น Ground ที่เราจะเรียกว่าชั้น G ในความเป็นจริงชั้นนี้ก็คือชั้นที่ 0 แต่ก็ไม่มีใครเรียกสักเท่าไร ประเทศที่เรียกชั้นที่ 0 ก็มีที่ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยซาเกรบ ในโครเอเชีย เขากำหนดชั้นของตึกภาควิชาเป็น -1, 0, 1, 2, และ 3 หรือที่บัวโนส ไอเรสก็เรียกชั้นอาคารคล้ายๆ กันนี้เหมือนกัน และหลายๆ ประเทศในยุโรปก็มีชั้นที่ 0 แต่เวลาพูดก็จะเรียกชั้น ground อยู่ดีแม้ตัวเลขชั้นในลิฟต์จะใช้เลข 0 แทนที่จะเป็น G ก็ตาม

เอาล่ะครับ ฝอยเรื่องของเลข 0 มาพะเรอเกวียนแล้ว จะขอจบลงตรงที่ เลข 0 คือความว่างเปล่า ดังนั้น มันไม่สามารถอยู่ตัวเดียวโดดๆ ได้ มันเป็นเลขที่เปลี่ยวเหงา โดดเดี่ยวยิ่งกว่าเลข 1 เลข 0 ต้องมีเพื่อนร่วมทางเพื่อให้ตัวมันมีชีวิต เลข 0 เคลื่อนที่ไปอยู่ข้างหน้าก็ได้ อยู่ตรงกลางก็ได้ อยู่ขวาสุดก็ได้ แต่มันจะไม่มีประโยชน์เลยหากไร้คู่หู ลำพังตัวเลข 0 ตัวเดียว มันก็แค่ตัวแทนของ การไม่มีอยู่ของบางอย่าง เท่านั้นเอง

ตัวเลข, พยากรณ์ตัวเลข, บทความตัวเลข, เลข 0, ศาสตร์ตัวเลข, ตำแหน่งตัวเลข, เครื่องหมาย, สัญลักษณ์, ตัวเลข, พยากรณ์ตัวเลข, บทความตัวเลข, เลข 0, ศาสตร์ตัวเลข, ตำแหน่งตัวเลข, เครื่องหมาย, สัญลักษณ์, ตัวเลข, พยากรณ์ตัวเลข, บทความตัวเลข, เลข 0, ศาสตร์ตัวเลข, ตำแหน่งตัวเลข, เครื่องหมาย, สัญลักษณ์

บทความที่เกี่ยวข้อง

เบญจเพส หรือ วัยเบญจเพส เลขอายุที่ทุกคนเกรง 24 25 26 รู้แล้วป้องกัน ดีกว่าแก้ไขตอนที่เกิด ... อ่านต่อ

ตัวเลขเสริมบุคลิกภาพ เสริมเสน่ห์ให้ผู้หญิง ... อ่านต่อ

ตัวเลข 359 นักพัฒนาต่อยอดธุรกิจ ... อ่านต่อ

ดูดวง / ฮวงจุ้ย

ทายนิสัย จากลายมือการเขียนตัวเลข ... BY : หมอเมท ... อ่านต่อ

คาถาทวงหนี้ คาถาอีกาวิดน้ำ ใช้สำหรับคนยืมเงินแล้วไม่คืนหรือของหาย ... อ่านต่อ

ตากระตุก ตาเขม่น ลางสังหรณ์ที่บ่งบอกเรื่องราวอะไร? ... อ่านต่อ